makalah fungsi linear

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Apabila kita cermati, hampir semua fenomena yang terjadi di jagad raya ini mengikuti hukum sebab akibat. Adanya pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran matahari pada porosnya. Jarak (S) yang ditempuh oleh suatu mobil misalnya, dipengaruhi oleh waktu tempuhnya (t). Demikian juga demand (d) konsumen dipengaruhi oleh quantity (q) barang dan price(p) nilai harga yang ada di pasaran. Dalam bahasa matematika dapat dinyatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu, demand merupakan fungsi dari jumlah dan harga barang. Ini berati begitu pentingnya pemahaman fungsi dalam menjelaskan fenomena jagad raya ini.
Namun demikian apabila kita lihat pembelajaran di sekolah, tidak sedikit siswa yang menemui kesulitan dalam pembelajaran konsep-konsep tentang fungsi linear sehingga kami ditugaskan membuat makalah yang diberikan oleh Guru kepada kelompok kami yaitu pembuatan makalah tentang ”FUNGSI LINEAR
B. Tujuan
1. Makalah ini dibuat dengan tujuan meningkatkan wawasan dan kemampuan siswa agar tidak mendapatkan kesulitan dalam pemelajaran matakuliah tentang relasi dan fungsi.
2. untuk mendapat tambahan nilai tugas matakuliah logika matematika.
C. Ruang Lingkup
Ruang lingkup materi yang dibahas dalam makalah ini adalah fungsi linear

BAB II
PEMBAHASAN
Fungsi linear
Dalam matematika, istilah fungsi linear dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep berbeda namun berhubungan:
• Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;
• Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian
Geometri analitis

Tiga fungsi linear geometris — garis merah dan biru memiliki gradien yang sama (m), sementara garis merah dan hijau memotong sumbu y di tempat yang sama (b).
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Persamaan linear
Dalam geometri analitis, istilah fungsi linear kadang-kadang digunakan dengan maksud fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya pada bidang Cartesius adalah garis lurus.
Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:
f(x) = mx + b
(y − y1) = m(x − x1)
0 = Ax + By + C
dengan m dan b adalah konstanta riil dan x adalah variabel riil. Konstana m disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan b memberikan titik perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu y. Mengubah y membuat garis tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah b akan menggerakkan garis ke atas atau ke bawah.
Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:
• f1(x) = 2x + 1
• f2(x) = x / 2 + 1
• f3(x) = x / 2 − 1.
Grafiknya ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.
Ruang vektor
Dalam matematika lanjut, sebuah fungsi linear berarti fungsi yang merupakan pemetaan linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Contohnya, bila x dan f(x) direpresentasikan sebagai vektor koordinat, maka fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:
f(x) = Mx,
dengan M adalah matriks. Sebuah fungsi
f(x) = mx + b
adalah peta linear jika dan hanya jika b = 0. Untuk nilai lain dari b, fungsi ini tergolong dalam kelas yang lebih umum, yaitu peta afin
Fungsi Linier Pada Poligonal

Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qy
dimana (x,y)’, memenuhi syarat-syarat sebagai berikut
ax + by £ c
dx + ey £ f
px + qy £ r
Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.
DALIL
Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).
Contoh :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
dengan syarat : x + 2y £ 4
x- y£ 4
x ³ 1
y ³ -1
Langkah :
Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya
f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2
Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
– Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).
– Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).
Model Matematika
Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
– constraint ( Persyaratan )
– objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)
Langkah
– Tentukan variabelnya (x=… ; y = ….)
– Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
– Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
– Tentukan titik esktrim daerah tersebut
– Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
– Bandingkan nilai yang didapat
– Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)
contoh :
MASALAH MAKSIMUM
1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

Tabel
Kue A Kue B Tersedia
Tepung
Mentega 150
50 75
75 2250
1750
KEUNTUNGAN 100 125
Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi :
Maksimumkan :
f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)
dengan syarat (ds):
150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 …(1)
50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 …(2)
x,y ³ 0
catatan : bentuk persyaratan £
Titik Ekstrim
A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000
Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.
2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m.
Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntunga pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?
Tabel
Model I Model II Tersedia
Katun
Sutera
Wool 2
1
1 1
2
3 16
11
15
KEUNTUNGAN 3000 5000
Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
model II yang dibuat = y
Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y
ds : 2x + y £ 16 (1)
x + 2y £ 11 (2)
x + 3y £ 15 (3)
x;y ³ 0
Titik Ekstrim
A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y
f (x,y) = 3000x + 5000y
f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000
Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.
MASALAH MINIMUM
3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?
Tabel
A B Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak 4
12
2 2
2
6 16
24
15
HARGA 1700 800

Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg
Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
2x + 6y ³ 18 ® x + 3y ³ 9 (3)
(Catatan : Bentuk persyaratan ³ )
Titik Ekstrim
A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.
f (x,y) = 1700x + 800y
f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300
Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B. Garis delidik
Untuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya.
Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya.
Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + by
Garis Selidik ax + by = k
Untuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut.
Kemungkinan-kemungkinan
1) k=0 ® ax +by=0
Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0.
2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri (masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimum dari fungsi didapat.
contoh :
Maksimumkan f(x,y) = x + 2y
ds : x + 3y £ 9…(1)
2x + y £ 8…(2)
x ; y ³ 0
Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan terakhir mencapai titik ekstrim E.
Maksimum dicapai pada titik E, yaitu f(E) = f(3,2) = 1(3) + 2(2) = 7
Keterangan :
Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan.
Nilai Ekstrim
BENTUK UMUM
y = f(x) = ax2 + bx + c
x variabel bebas; y variabel tak bebas;
a,b,c konstanta ; a ¹ 0
NILAI EKSTRIM
Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² – D/4a
Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a
Dapat disimpulkan :
y = a(x – x ekstrim)² + y ekstrim
Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimu tergantung dari nilai a.
Tanda dari a
a Parabola Terbuka Grafik
a > 0 Ke atas
Mempunyai nilai minimum
a 0 2 akar berlainan 2 titik potong
D = 0 akar kembar 1 titik potong (titik singgung)
D 0 c 0 a<0
Ket :
Untuk D 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.
(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.
(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).
Persamaan Linear dan Fungsi Linear
Tentu kita sudah mengetahui tentang suatu persamaan. Atau kita masih bingung mengenai perbedaan suatu persamaan dengan kesamaan. Apa itu persamaan dan apa iu kesamaan? Coba kita perhatikan dua hal ini.
dan
Manakah yang merupakan persamaan dan manakah yang merupakan suatu kesamaan? Dengan contoh tersebut kita akan lebih mudah mengetahui perbedaannya. adalah merupakan suatu persamaan. Mengapa? Ini karena didalamnya ada suatu variable. Sedangkan yang kedua adalah suatu kesamaan. Karena sudah sangatlah jelas bahwa ruas sebelah kanan sama dengan ruas di sebelah kiri. Atau bisa juga dikatakan karena didalamnya tidak ada suatu variable. Sudah jelas perbedaan antara persamaan dengan kesamaan. Tentunya kita pasti akan mengetahuinya secara tidak langsung mengenai pertidaksamaan, pertaksamaan, atau ketaksamaan.
Sekarang bagaimana menyelesaikan suatu persamaan?
pada awalnya kita hanya akan menuliskan untuk suatu persamaan dengan pangkat tertinggi yaitu . Dan tentu nantinya kita akan belajar untuk suatu persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi . Persamaan dengan pangkat tertinggi disebut persamaan linear. Untuk menyelesaikan suatu persamaan linier, perhatikan masalah di bawah ini!

Tugas kita adalah mencari nilai yang memenuhi persamaan diatas. Semesta pembicaraan kita adalah seluruh bilangan real. Sebelum mencari nilai , kita perhatikan dulu hal-hal yang boleh dilakukan pada suatu persamaan atau kesamaan. Misalkan persamaan atau kesamaan tersebut berbentuk . yang boleh dilakukan yaitu :
1. Menambahkan atau mengurangi bilangan yang sama di ruas kanan dan ruas kiri. Untuk semua bilangan z, berlaku :
2. Mengalikan bilangan yang sama di ruas kanan dan ruas kiri. Untuk semua bilangan p berlaku :
Terkadang kita menyalah-artikan membagi ruas kanan dan ruas kiri dengan angka yang sama. Padahal ini artinya sama dengan point nomor 2, yaitu mengalikan dengan bilangan yang sama. Hanya saja pengalinya berbentuk pecahan. Konsep untuk membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama itu adalah kurang aman. Karena tentu kita sudah tahu bahwa membagi dengan nol adalah hal yang tidak diperbolehkan di matematika. Sehingga untuk lebih amannya kita gunakan point 2. Yaitu mengalikan kedua ruas dengan , dengan n tidak sama dengan 0.
Kembali pada menyelesaikan suatu persamaan. Untuk menyelesaikan . Kita ikuti langkah-langkah berikut :
5x+7=2
5x+7–7=2–7 (kedua ruas dikurangi 7)
5x=–5
5x(1/5)=–5(1/5) (kedua ruas dikalikan (1/5)
x=–1
Diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah -1. Ketika kita sudah sangat terbiasa dengan proses seperti ini. Kita bisa menganggap proses-proses seperti langkah pertama yaitu kedua ruas dikurangi 7. Kita bisa menganggap dengan memindahkan angka tujuh dari ruas kiri ke ruas kanan dan member tanda negative. Tentunya ketika pemindahan kita melewati tanda sama dengan, maka wajib bagi kita untuk merubah tanda. Yang semula positif menjadi negative. Dan yang semula negative menjadi positif.
Coba selesaikan persamaan-persamaan berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
Fungsi Linear
Fungsi linear adalah suatu fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi yaitu 1. Misalnya f(x)=5x, g(x)=2x+4, dll. Gambar grafik dari suatu fungsi linear merupakan garis lurus. Perhatikan gambar dibawah :
Gambar tersebut adalah gambar dari fungsi y=x–2. Gambarnya berupa garis lurus yang memotong sumbu x dan memotong sumbu y. Perhatikan bahwa gambar grafik tersebut memotong sumbu x di 2 dan memotong sumbu y di -2. Untuk menggambarkan suatu fungsi linear. Kita hanya perlu mencari 2 titik yang memenuhi persamaannya dan menarik garisnya. Misalnya gambar grafik dari y=x–2 seperti gambar di atas. Kita masukkan nilai x (sebarang, asalkan tidak mempersulit kita dalam perhitungan). Untuk , maka nilai y=1–2 atau y=–1. Sehingga gambar grafiknya melewati koordinat (1, -1). Untuk x=0 diperoleh y=-2 yaitu koordinat (0, -2). Sehingga untuk menggambarkan grafik dari fungsi y=x–2 kita hanya perlu menarik garis lurus dari kedua titik tersebut.
Beberapa hal yang perlu diketahui pada suatu fungsi linear adalah :
1. Gambar dari suatu fungsi linear pasti merupakan suatu garis lurus.
2. Domain pada suatu fungsi linear adalah (-∞,∞).
3. Kemiringan grafik pada suatu fungsi linear adalah konstanta dari x. Misalnya y=2x. kemiringan dari grafik y=2x adalah 2. Ini dapat dicari menggunakan turunan pertama.
4. Dua garis yang mempunyai kemiringan sama, pasti kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan.
5. Dua garis yang mempunyai kemiringan berbeda, pasti akan berpotongan.
6. Jika kemiringan dilambangkan m, maka dua garis tegak lurus jika m1*m2=-1

BAB III
PENUTUP

Fungsi linear adalah suatu fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi yaitu 1. Misalnya f(x)=5x, g(x)=2x+4, dll. Gambar grafik dari suatu fungsi linear merupakan garis lurus. Perhatikan gambar dibawah :
Gambar tersebut adalah gambar dari fungsi y=x–2. Gambarnya berupa garis lurus yang memotong sumbu x dan memotong sumbu y. Perhatikan bahwa gambar grafik tersebut memotong sumbu x di 2 dan memotong sumbu y di -2. Untuk menggambarkan suatu fungsi linear. Kita hanya perlu mencari 2 titik yang memenuhi persamaannya dan menarik garisnya. Misalnya gambar grafik dari y=x–2 seperti gambar di atas. Kita masukkan nilai x (sebarang, asalkan tidak mempersulit kita dalam perhitungan). Untuk , maka nilai y=1–2 atau y=–1. Sehingga gambar grafiknya melewati koordinat (1, -1). Untuk x=0 diperoleh y=-2 yaitu koordinat (0, -2). Sehingga untuk menggambarkan grafik dari fungsi y=x–2 kita hanya perlu menarik garis lurus dari kedua titik tersebut.
Beberapa hal yang perlu diketahui pada suatu fungsi linear adalah :
1. Gambar dari suatu fungsi linear pasti merupakan suatu garis lurus.
2. Domain pada suatu fungsi linear adalah (-∞,∞).
3. Kemiringan grafik pada suatu fungsi linear adalah konstanta dari x. Misalnya y=2x. kemiringan dari grafik y=2x adalah 2. Ini dapat dicari menggunakan turunan pertama.
4. Dua garis yang mempunyai kemiringan sama, pasti kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan.
5. Dua garis yang mempunyai kemiringan berbeda, pasti akan berpotongan.
6. Jika kemiringan dilambangkan m, maka dua garis tegak lurus jika m1*m2=-1

DAFTAR PUSTAKA

http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0389%20Mat%201-6e.htm

http://blog.ub.ac.id/suheblog/2010/03/29/fungsi-linear/

http://asimtot.wordpress.com/2010/05/03/persamaan-linear-dan-fungsi-linear/

About these ads

Tentang jenerlumonang

tau siau
Tulisan ini dipublikasikan di Uncategorized. Tandai permalink.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s